Un peso a la derecha

Federico, Victoria y sus compañeros de estudio se sentaron alrededor de una gran mesa redonda. Victoria quedó a la derecha de Federico.

Pusieron sobre la mesa las monedas de $1 que tenían y resultó ser que Federico tenía un peso más que Victoria. Victoria, a su vez, tenía $1 más que el chico a su derecha; y este $1 más que quien estaba a su derecha; y así seguían hasta completar la vuelta.

Federico decidió pasarle un peso a Victoria, quien a su vez le pasó dos pesos a quien estaba a su derecha, que a su vez le pasó tres pesos a quien estaba a su derecha, y así siguieron con este proceso hasta que uno de los estudiantes se quedó sin monedas. Cuando esto sucedió, Federico tenía 6 veces la cantidad de monedas que tenía Victoria.

Las preguntas son:

a/ ¿Cuántos estudiantes formaban el grupo? y

b/ ¿Cuántas monedas le quedaron finalmente a Federico?

Llamaremos

A = cantidad inicial de monedas que tiene Federico
N = cantidad de integrantes
V = vueltas totales
C : contador de vueltas.

Haciendo una tabla hipotética con números inventados se puede comprobar que:

O lo que es lo mismo:

Por ejemplo: A = 8, N = 5 :

Estudiantes
Federico Victoria 3 4 5
Inicio Tiene 8 7 6 5 4
Vuelta 1 Recibe 0 1 2 3 4
Pasa 1 2 3 4 5
Tiene 7 6 5 4 3
Vuelta 2 Recibe 5 6 7 8 9
Pasa 6 7 8 9 10
Tiene 6 5 4 3 2
Vuelta 3 Recibe 10 11 12 13 14
Pasa 11 12 13 14 15
Tiene 5 4 3 2 1
Vuelta 4 Recibe 15 16 17 18 19
Pasa 16 17 18 19 20
Tiene 4 3 2 1 0
Situacion final Recibe 20
Tiene 24

Se completaron 4 vueltas. Entonces

A - V = N - 1 queda 8 - 4 = 5 - 1

Al completar cada vuelta Federico recibe tantas monedas como el producto de la cantidad de integrantes del grupo por el número de vuelta:
N * C

Y entrega una moneda, o sea que le quedan
( N * C ) + A - C

Que en la última vuelta será: ( N * V ) + A - V (3)

Al finalizar el juego Victoria tiene A - V - 1 (4)

Ya que Federico tiene seis veces más monedas que Victoria ( N * V ) + A - V = 6 * ( A - V - 1 )

O lo que es lo mismo ( N * V ) = 5 * ( A - V ) - 6

Reemplazando ( A - V ) por su igual ( N - 1 )
( N * V ) = 5 * ( N - 1 ) - 6
( N * V ) = 5 * N - 11
( N * V ) - 11 = 5 * N

Despejando queda

5 = V + 11/N (5)

La única manera de que el cociente 11/N dé un número entero es que la cantidad de integrantes del grupo sea N = 11

De la (5) deducimos que se habrán dado V = 4 vueltas

De la (1), A = N + V - 1, surge que Federico tenía inicialmente 14 monedas

Y al finalizar el juego ( N * V ) + A - V = 54 monedas

Resumen:

a/ Estudiantes que formaban el grupo? : 11

b/ Monedas que le quedaron finalmente a Federico? : 54